Question

对于双曲线：()，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.

(1)证明：直线上的点都在的外部.

(2)若点的坐标为，点在的内部或上，求的最小值.

(3)若过点，圆()在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围.

Answer

(1)见解析 (2) 最小值为．(3) ,的取值范围为．

【解析】

（1）设直线上的点坐标为，代入双曲线方程检验；

（2）设点，由题设．，求得这个式子的最小值即可．

（3）由于圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．代入双曲线方程得（*），双曲线过点，得，消去得．

由得的取值范围．

（1）设直线上点的坐标为，代入，

得，

对于，，因此，直线上的点都在的外部．

（2）设点的坐标为，由题设．

，由，得，

对于，有，于是，

因此，的最小值为．

（3）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．

由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．…

将，代入双曲线方程，得（*），

又因为过点，所以，

将代入（*）式，得．

由，解得．因此，的取值范围为．