Question

已知数列的通项公式为，其中，、.

(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.

(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.

(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.

Answer

(1) 、（答案不唯一）．(2) 7，8，9，10，11．(3) 的最小值为．的最小值为

【解析】

（1）只要均小于1即可；

（2）利用对勾函数的单调性分类讨论，注意的取值只能是正整数．

（3），且，求出

因为，只有四组，利用二次函数的性质得，进一步得，的四个值为，，，，因此，的最小值为．再由中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，则中接着至少有两个0，从而可得的最小值．

（1）、（答案不唯一）．

（2）由题设，．

当，单调递增，不合题意，

时，，在时单调递增，不合题意，因此，．

当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．

由题设，有，．

于是由及，可解得．

因此，的值为7，8，9，10，11．

（3）因为，且，

所以

因为（、，），所以、．

于是由，可得，进一步得，

此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．

又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，

因此，，即的最小值为．