Question

已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.设数列的前n项和为且满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若求正整数的值；

（3）是否存在正整数，使得恰好为数列的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）存在两个正整数；1或2

【解析】

（1）设的奇数项构成的等差数列的公差为，偶数项构成的等比数列的公比为，运用通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式；（2）当为奇数时，当为偶数时，运用通项公式，解方程可得的值；（3）求得，，若为数列中的一项，整理化简求得，的值，再由数学归纳法证明，即可得到结论．

（1）设的奇数项构成的等差数列的公差为偶数项构成的等比数列的公比为则

由已知，得

故数列的通项公式为：

（2）当k为奇数时，由得

由于而仅在时为正整数，与为奇数矛盾！

当k为偶数时，由得

综上，得

（3）由（1）可求得

若为数列中的一项，则（为正奇数）或（为正偶数）

（i）若（为正奇数），则

当时，，结论成立；

当时，由得解得

由于为正奇数，故此时满足条件的正整数k不存在.

（ii）若（为正偶数），

显然，则

由得得

由为正偶数得为正偶数，因此，从而

当时，；下面用数学归纳法证明：当时，

①当时，显然；

②假设当 时，有 ；则当 时，

由得，

故

即时，结论成立.

由①，②知：时，

综合（i），（ii）得：存在两个正整数,1或2，使为数列中的项.