Question

对于双曲线：（），若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.

（1）若直线上点都在的外部，求的取值范围；

（2）若过点，圆（）在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；

（3）若曲线（）上的点都在的外部，求的取值范围.

Answer

（1）；（2），；（3）.

【解析】

（1）直线上点都在的外部等价于不等式的解为一切实数，转化为恒成立问题从而求解；

（2）根据对称性，只需要考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况，由此可得两曲线的交点坐标为，将点和代入双曲线得到两个方程，然后将看成已知数，解出，根据，解出的范围；

（3）先将曲线（）转化为，根据所有点都在的外部，可以得到不等式对任意非零实数均成立，令，转化为函数进行分类讨论，求解最值，从而得出的取值范围.

【解析】
（1）由题意，因为直线上点都在的外部，

所以直线上点满足，

即求不等式的解为一切实数时的取值范围.

对于不等式，

当时，不等式的解集不为一切实数，

于是有解得.

故的取值范围为.

（2）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，

所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况.

由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，

它们交点的坐标为.

将，代入双曲线方程，

得（*），

又因为过点，

所以，

将代入（*）式，

得.

由，

解得.

因此，的取值范围为.

（3）由，

得.

将代入，

因为曲线（）上的点都在的外部，

所以不等式对任意非零实数均成立，

其中.

令，设，（）.

当时，函数在上单调递增，不恒成立；

当时，，

函数的最大值为，

因为，所以；

当时，.

综上，，解得.

因此，的取值范围为.