Question

设数列的前项和为，且.

（1）求、、的值；

（2）求出及数列的通项公式；

（3）设，求数列的前项和为.

Answer

（1），，；

（2），；

（3）当为奇数，；当为偶数，.

【解析】

分别令,求出的值；

(2)猜想，利用数学归纳法进行证明，知道即可得出；

(3)由(2 )知，进而求出，再分为奇数、为偶数，利用裂项相消法即可求出

(1)，

时，，

时，，解得，

时，，解得，同理可得：，

（2）由（1）可得：，，

化为，猜想，

时，代入，左边；右边,

所以左边=右边，猜想成立，时也成立，

时，，时，也成立，

；

当时，，

又，

数列的通项公式为.

（3）

，

为偶数时，数列的前项和为：

.

为奇数时，数列的前项和为：

.

综上所述，当为奇数，；当为偶数，.