Question

已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.

（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；

（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；

（3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，，当时，，求当时，函数的解析式和零点.

Answer

（1）；详见解析

（2），，；

（3），零点为，2015，2016.

【解析】

(1) 由题意可得，化为对 成立，需满足条件，解方程即可判断；(2) 由题意可得，运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；(3)由都是函数的“伴随数对”，可得为周期为4的函数，，，，的函数解析式，可得，的解析式，即可得到所求零点.

(1)的定义域为，假设存在实数，对于定义域内的任意均有成立，则，

化为，由于上式对于任意实数x都成立：，解得

是函数的“伴随数对”，；

(2) 函数，

，

，

，

都成立，，

，

，又，

故，

当时，，

当时，，

的“伴随数对”为；

(3) 都是函数的“伴随数对”，

，

，

当时，则，此时，

当时，则，此时，

当时，则，此时，

，

，

当时，函数的零点为.