Question

如图，A、B是海岸线OM、ON上两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为、，测得，，以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线BB经过点Q）.

（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？

（2）海中有一处景点P（设点P在平面内，，且），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.

Answer

（1）30min （2）

【解析】

（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标，由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB长.

（2）由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC 方程，即可求解C点坐标.

（1）由已知得，，直线ON方程：

设，由及图，得，

直线AQ的方程为即

由，解得，即

，即水上旅游线AB的长为

，即30min.

（2）点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C

由（1）直线AB 方程

，则直线PC方程为

联立，解得