Question

已知直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设坐标原点为O.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点，若，求直线l的方程；

（3）设在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

(1) （2） （3）存在，

【解析】

（1）根据渐近线求解a,b关系，再根据双曲线上一点A求解双曲线标准方程；

（2）由知D为RS中点，利用点差法求解直线l斜率，进而求解直线方程；

（3）根据直线斜率及点斜式方程，分别列出直线AM和直线AN方程，求P,Q坐标，满足,即可求解点T坐标.

（1）由直线是双曲线渐近线，则，则双曲线方程，

代入，解得，

故双曲线C的方程为

（2）由题意，可知D为RS中点，

设RS两点坐标为，代入原式

，两式作差得

整理得，

再由中点坐标公式

解得

故直线l的方程为

（3）存在，

根据题意，由，则斜率，直线，

当时，，即

同理，由则斜率，直线，

当时，，即

设：，则

，，

又，得到

解得，又双曲线C中，或

故T坐标为