Question

对于双曲线，若点P（x₀，y₀）满足，则称P在的外部，若点P（x₀，y₀）满足>1，则称在的内部；

（1）若直线y=kx+1上的点都在C_（1，1）的外部，求k的取值范围；

（2）若C_（a，b）过点（2，1），圆x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）内部及C_（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；

（3）若曲线|xy|=mx²+1（m＞0）上的点都在C_（a，b）的外部，求m的取值范围．

Answer

（1）k＞或k＜﹣（2）， （3）

【解析】

（1）由题意可得直线上点P（x0，y0）满足，且，即为恒成立，运用二次项系数小于0和判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b、r的关系式和r的范围；
（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即为，由题意可得曲线上点P（x0，y0）满足，代入，整理成的二次不等式，运用换元法和二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围.

【解析】
（1）直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，可得
直线上点P（x0，y0）满足，且，
即为，恒成立，
可得，且，
即有，解得或；
（2）若C（a，b）过点（2，1），可得，
即为，
由圆和双曲线的相交的弦长相等，
弦所对的圆周角均为90°，且均为，
联立，解得，
可得，
化简可得，
令，则，
即有；
（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即为，
由曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，
可得曲线上点P（x0，y0）满足，
即为，
即有，
令，即有，对恒成立，
时，显然成立；
时，且，

由，可得，

解得.