Question

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M，N分别为棱AC和A₁B₁的中点，且AB＝BC．

（1）求证：平面BMN⊥平面ACC₁A₁；

（2）求证：MN∥平面BCC₁B₁．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理证明平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直；

（2）取BC的中点P，连接B1P和MP，可证MN∥PB1，从而可证线面平行．

（1）因为M为棱AC的中点，且AB＝BC，所以BM⊥AC，

又因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC

因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM

又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A＝A，所以BM⊥平面ACC1A1

因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1

（2）取BC的中点P，连接B1P和MP，

因为M、P为棱AC、BC的中点，

所以 MP∥AB，且MPAB，

因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

所以A1B1∥AB，AB＝AB

因为N为棱A1B1的中点，

所以B1N∥BA，且B1NBA；

所以B1N∥PM，且B1N＝PM；

所以MNB1P是平行四边形，

所以MN∥PB1

又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1

所以MN∥平面BCC1B1