Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA＝45°，AB＝2，AD＝1．

（1）求证：MN⊥CD；

（2）求点C点到平面PDM的距离．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取PD中点E，连接AE，EN，可证MN∥AE，只要证即可，这可以通过证明平面所得；

（2）利用体积法求距离，即由求解．

（1）如图，取PD中点E，连接AE，EN，

因为N，E分别为PC，PB中点，所以EN∥DC，且EN，

又四边形ABCD为矩形，且M为AB中点，所以AM∥DC，且AM，

所以EN∥AM，且EN＝AM，

所以四边形AMNE为平行四边形，

所以MN∥AE，

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CD，

又∠PDA＝45°，所以PA＝DA，

又E为PD 中点，所以AE⊥PD，

又因为CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，

又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE

所以MN⊥CD，

（2）连接DM，CM，则DM，CM，

又CD＝2，所以DM⊥CM，

又PD，PM，所以△PDM为等边三角形

设点C点到平面PDM的距离为h，

由VP﹣CDM＝VC﹣PDM得

，

所以h，

所以点C点到平面PDM的距离为．