Question

矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP．

（1）在DC上是否存在点E使得AD∥平面PBE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．

（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值

Answer

（1）存在E是DC的三等分点，距离C点较近，理由见解析；（2）

【解析】

（1）AC交BP于F，可证，因此只要，就有EF∥AD，从而有AD∥面PBE；

（2）先证明，平面，得BP⊥DP，计算，从而证明AD⊥DB，得出∠PDB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，然后由余弦定理计算．

（1）如图所示：

连接AC，BP，AC交BP于F，CP∥AB，且CP，所以，

取DC 的三等分点E，使，连接EF，则EF∥AD，EF面PBE，AD面PDE，

所以AD∥面PBE；存在E是DC的三等分点，距离C点较近，使得AD∥面PBE；

（2）在矩形中，，所以，，

又平面ADP⊥平面ABCP，平面ABCP，平面ADP∩平面ABCP＝AP，∴平面，∴BP⊥DP，∴BD2＝DP2+BP2＝DP2+PC2+BC2＝1+1+1＝3，在△ADB中，AB2＝AD2+BD2∴AD⊥DB，而PD平面ADP，BD平面ADB，∴∠PDB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在Rt△PDB中，cos∠PDB，

所以二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．