Question

如图,是边长为的正方形，平面平面，，,,.

（1）求证：面面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题（1）由平面平面，可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设，，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出.

试题解析：(1)证明：∵，，，

∴.

∵

∴

又∵是正方形

∴

∵，，

∴平面.

又∵

∴ .

(2)【解析】
因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，

，，

设平面的法向量为，,即，,则

∴.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

(3)【解析】
点在线段上，设，，则，

设平面的法向量为，则

,即，

令则， ，整理得：

解得：， 此时.