Question

对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有.成立,那么,就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期:例如:当时,是周期为1的周期数列:当时,是周期为4的周期数列.

(1)设数列满足(不同时为0),求证:数列是周期数列,并求数列前2020项和;

(2)设数列前项和为,且;

①若,试判断是否为周期数列,并说明理由;

②若,试判断是否为周期数列,并说明理由;

(3)设数列满足,数列前项和为,试问是否存在,使对任意,都有成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.

Answer

(1)证明见解析,;(2)①不是,理由见解析;②是,理由见解析;(3)存在,

【解析】

（1）计算得到，故为周期数列，再计算每个周期和为得到答案.

（2）化简得到，当时得到等差数列，不是周期，当时得到，是周期.

（3）化简得到，故周期为，讨论，， ，，，，六种情况分别计算得到答案.

（1），故，即

故周期为

计算得到

每个周期的和为，故

（2），，故当时，，

两式相减得到，故

若，则，则，不是周期数列.

若，且，故，故，即

故是周期数列.

（3），

相加得到，故是周期为的数列.

计算数列为：

故，

当时，，故；

当时，，故；

当时，，故

当时，，故

当时，，故

当时，，故

综上所述：存在，且