Question

设是数列的前项和，对任意都有成立（其中是常数）.

（1）当时，求：

（2）当时，

①若，求数列的通项公式：

②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”，如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值构成的集合；若不存在．说明理由.

Answer

（1）（2）①②存在，首项所有取值构成的集合为。

【解析】

（1）当时，得到，进而得到，两式作差，得到数列为等比数列，即可求解．

（2）①时，，进而得到，两式作差，得到数列为等差数列，即可求解．

②确定数列的通项，利用是“数列”，得到是偶数，从而可得，再利用条件，验证，即可求解数列的首项的所有取值．

（1）由题意，当时，得到，

用代替，可得，

两式相减，可得，即，即，

令，可得，解答，

所以数列是以1为首项，公比为3的等比数列，

所以．

（2）①当时，，

用代替，可得，

两式相减可得，

用代替，可得，

两式相减，可得，即，

即，所以数列为等差数列，

因为，可得，

又由，解得

所以数列的通项公式为．

②由①知数列是等差数列，因为，所以，

又由是“封闭数列”，可得：

对任意，必存在，使得，

解得，所以为偶数，

又由已知，可得，所以，

（i）当时，，

对于任意，都有，

（ii）当时，，则，

则，

取，则，不合题意；

当时，，则，

则，符合题意；

当时，，则，

所以，

又由，

所以或或或，

所以首项所有取值构成的集合为．