Question

已知，为实数，函数，且函数是偶函数，函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数.

（1）求函数的解析式；

（2）求实数的值；

（3）设，问是否存在实数，使得在区间上有最小值-2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）利用函数是偶函数，求函数的解析式；

（2）利用复合函数的单调性，求实数b的值；

（3）分类讨论，求出函数的最小值，利用在区间上有最小值为﹣2，得出结论．

（1）∵函数是偶函数，∴（x+1）2+a（x+1）+1＝（﹣x+1）2+a（﹣x+1）+1，∴4x+2ax＝0，∴a＝﹣2，

∴＝（x﹣1）2；

（2）＝﹣bx4+（5b﹣1）x2+2﹣b，

令t＝x2，u（t）＝﹣bt2+（5b﹣1）t﹣（b﹣2），

在区间上，t＝x2是减函数，且t∈，由是减函数，可知为增函数；

在区间上，t＝x2是减函数，且t∈（0，4），由是增函数，可知为减函数，

∴由在（0，4）上是减函数，（4，+∞）上是增函数，可得二次函数开口向上，b＜0，且﹣＝4，

∴；

（3），x∈[0，2]．

当q＜0，ymin＝h（0）＝1+2q＝﹣2，q＝﹣；

当0≤q≤2，ymin＝h（q）＝﹣q2+2q+1＝﹣2，∴q＝3或﹣1，舍去；

当q＞2，ymin＝h（2）＝﹣2q+5＝﹣2，q＝，

综上所述：或.