Question

已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数.

（1）若，，，求数列的通项公式；

（2）若，，，且，求数列的前项和；

（3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列.

Answer

（1）；（2）；（3），或或，．

【解析】

试题（1）已知与的关系，要求，一般是利用它们之间的关系 ，把，化为，得出数列的递推关系，从而求得通项公式；（2）与（1）类似，先求出，时，推导出与之间的关系，求出通项公式，再求出前项和；（3）这是一类探究性命题，可假设结论成立，然后由这个假设的结论来推导出条件，本题设数列是公比不为的等比数列，则，，代入恒成立的等式，得

对于一切正整数都成立，所以，，，得出这个结论之后，还要反过来，由这个条件证明数列是公比不为的等比数列，才能说明这个结论是正确的．在讨论过程中，还要讨论的情况，因为时，，，当然这种情况下，不是等比数列，另外 ．

试题解析：（1）由，得； 1分

当时，，即2分

所以； 1分

（2）由，得，进而， 1分

当时，

得，

因为，所以， 2分

进而2分

（3）若数列是公比为的等比数列，

①当时，，

由，得恒成立.

所以，与数列是等比数列矛盾； 1分

②当，时，，， 1分

由恒成立，

得对于一切正整数都成立

所以，或或，3分

事实上，当，或或，时，

，时，，得或

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 2分