Question

已知表示不小于的最小整数，例如.

（1）设,,若，求实数的取值范围；

（2）设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

（3）设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）在区间上单调递增，得到的取值集合为，根据题意计算得到答案.

（2）当时，，得到在上函数值的个数为个，计算得到，再计算极限得到证明.

（3）计算得到，并且当时取等号，故，恒成立，讨论和两种情况，分别计算得到答案.

（1）因为在区间上单调递增，所以

进而的取值集合为

由已知可知在上有解，因此

（2）当时，，

所以的取值范围为区间

进而在上函数值的个数为个，

由于区间与没有共同的元素，

所以中元素个数为，得

因此，

（3）由于，

所以，并且当时取等号，

进而时，

由题意对任意，恒成立.

当，恒成立，因为，所以

当，恒成立，因为，所以

综上所述：实数的取值范围为.