Question

如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从孔流入,经沉淀后从孔流出,设箱体的长度为米,高度为米,已知流出的水中该杂质的质量分数与的乘积成反比,现有制箱材料60平方米;

(1)写出关于的表达式;

(2)当各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质质量分数最小;(孔的面积忽略不计)

Answer

（1）；（2）当，时，该杂质的质量分数最小.

【解析】

（1）根据流出的水中该杂质的质量分数与，的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，求出，满足的关系式；

（2）先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求解．

【解析】
（1）由题意可得且

即

（2）因为该杂质的质量分数与，的乘积成反比，所以当最大时，该杂质的质量分数最小.

由均值不等式得（当且仅当时取等号）

所以，

即（当且仅当时取等号）

即，

因为，所以，所以

所以当且仅当即时，取得最大值，此时该杂质的质量分数最小.

故当，时，该杂质的质量分数最小.