Question

设函数，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；

（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.

Answer

(1);(2);(3).

【解析】

（1）不等式等价于，据此分类讨论可得不等式的解集为；

（2）由题意可得，，则，同理分组求和可得；

（3）由题意讨论可知 的最大值必为的偶数项，且当为偶数时（）时，，据此可知.

（1）∵ 即，

∴即，

或∴ ；

（2）由即的解集为，

∴ ，

∴ 时，，时，，

∴ ，

；

（3），时，，

为奇数时，，即，，，…，，…，

为偶数时，，即，，，…，…，

∴ 的最大值必为的偶数项，故当为偶数时（）时，

，

∴ 为偶数时，为递减数列，∴ .