Question

如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）关键证明CD⊥平面PAC，（2）关键证明AE⊥PD，AB⊥PD．

证明：(1)在四棱锥中，

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE.