Question

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA.

Answer

（1）见证明；（2）见证明；（3）见证明；

【解析】

(1)取的中点，连接，证明，即可得结果；(2)取的中点，连接，可得，由平面，可得，又，从而可得平面，进而可得结果；(3)利用三角形中位线定理证明，可得四边形为平行四边形，，由(2)知平面，则 平面，从而可得结果.

(1)取EC的中点F，连接DF.∵FCBD，∴四边形BDFC为平行四边形．∴DF∥BC，又EC⊥BC，∴DF⊥EC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴ED＝DA.

(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，

∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内．

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.

(3)∵BDEC，MNEC，∴MNBD.

∴四边形MNBD为平行四边形，∴DM∥BN，

由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.

又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.