Question

如图，在正方体中，E，F，M，N分别是，BC，，的中点.

（1）求证：平面平面NEF;

（2）求二面角的平面角的正切值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）正方形中三个中点，可得，由正方体可证，从而可得线面垂直，又得面面垂直；

（2）过点N作于点G，连接MG，证明为二面角的平面角.然后求解．

（1）证明：因为N，F为所在棱的中点，所以平面.

又平面，所以.

又因为M，E为所在棱的中点，所以和均为等腰直角三角形.

所以.所以.所以.

又，所以平面NEF.又平面MNF，

所以平面平面NEF.

（2）在平面NEF中，过点N作于点G，连接MG.

由（1）知平面NEF，又平面NEF，所以.

又，所以平面MNG.所以.

所以为二面角的平面角.

设该正方体的棱长为2.

在中，，

所以在中.

所以二面角的平面角的正切值为.