Question

在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连结，当的面积最大时，__________.

Answer

【解析】

利用平面，根据线面垂直的性质定理可得，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出平面，进而可以证明出，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明平面，因此可以证明出，最后利用线面垂直定理证明出平面，因此得到，，且为中点.

解法1：

设，，利用三角形面积公式可以求出的长，在利用，求出的长，最后求出的面积表达式，利用换元法和配方法求出面积平方的最大值，最后求出的值；

解法2：

设，求出、、、的大小，再求出的大小，最后求出

表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出的值.

因为平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，所以，又，

所以平面，综上，，且为中点.

解法1：

设，，则，又，则，

又，可得，所以，

所以，令，

则

所以当时即，，，此时，故填.

解法2.

设，则，所以.

又，，所以，所以

所以

当且仅当即时，取等号.

故答案为：