Question

已知椭圆上的三点，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为__________.

Answer

【解析】

设出直线的方程,将其代入到椭圆的方程,根据韦达定理,三角形的重心坐标公式,三角形的面积比,可求得点的坐标,再将的坐标代入椭圆方程即可得到直线的斜率.

如图所示:

设 ,,直线的方程为,

因为原点是三角形的重心,所以△与△ 的高之比为3,又△与△的面积之比为,则,即,

所以,①

联立,消去并整理得,

所以,,②

由①②整理得,③

因为原点是△的重心,所以,,

因为,所以,

化简得,④

由③④可得,因为,所以.

故答案为:.