Question

如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，当为的中点时，能使平面平面

【解析】

（1）利用已知可以判定四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到线线平行，利用线面平行的判定定理证明出平面；

（2）根据为正三角形可以得到，再根据是等边三角形得到，这样根据线面垂直的判定定理可以证明平面，再利用线面垂直的性质定理可以证明出；

（3）可以猜想为的中点时.根据已知侧面垂直于底面，可以通过面面垂直的性质定理可以得到平面.这样利用中位线可以证明出平面，这样证明出猜想是正确的.

（1）由已知，，所以四边形是平行四边形..

又平面，平面，平面.

（2）连接.，.是等边三角形，

又，平面..

（3）当为的中点时，能使平面平面.证明如下、

平面平面，平面平面，，平面，

平面.连结交于.则是的中点，.

平面.又平面，平面平面.