Question

如图，已知位于轴左侧的圆与轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为，直线与圆相交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点.

（1）求圆的方程；

（2）求直线的斜率的取值范围.

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）依题意可设圆心，根据圆的性质可以得出，进而可以求出圆的标准方程；

（2）解法1.

依题意知，只需求出点（或）在劣弧上运动时的直线（或）斜率，设其直线方程为，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，可以求出的取值范围，根据点在劣弧上，点在劣弧上，求出直线的斜率，进而求出直线的斜率的取值范围，在讨论线的斜率为零时，是否满足，最后确定直线的斜率的取值范围；

解法2.

当时，直线的方程为，根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式，求出斜率的取值范围，再以代求出斜率的取值范围，接着讨论时，是否满足条件，最后确定斜率的取值范围.

（1）依题意可设圆心.设圆与轴交于点，因为圆被轴分成的两段圆弧之比为，所以.于是，圆心.

所以圆的方程为.

（2）解法1.

依题意知，只需求出点（或）在劣弧上运动时的直线

（或）斜率，设其直线方程为，

此时有，解得.

若点在劣弧上，则直线的斜率，于是;

若点在劣弧上，则直线的斜率，于是.

又当时，点为，也满足条件综上所述，所求的直线的斜率的取值范围为或

解法2.

当时，直线的方程为，由题意得，解得.

以代得，，解得或.

当时，也满足题意.

综上所述，的取值范围是或