Question

如图，在四棱锥中，，∥，且,，.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（I）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直进行论证，而线面垂直证明，往往需要多次利用线线垂直与线面垂直的转化，而线线垂直，有时可利用平几条件进行寻找与论证，如本题取中点E，利用平几知识得到四边形是矩形，从而得到，而易得，因此，进而有平面平面；（2）利用空间向量求线面角，首先建立空间直角坐标系：以A 为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，设出各点坐标，利用方程组解出面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结论

试题解析：【解析】
证明：（1）为中点,,,且四边形是矩形,,又平面,且,在平面中,平面平面,又平面平面,平面平面.

（2）以A 为原点，为轴,为轴,建立空间直角坐标角系，

,

则

设平面的法向量,则,取,得,

设直线与平面所成的角为,,

直线与平面所成的角的正弦值为.