Question

设抛物线C：y²＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（﹣1，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求△ABM的外接圆方程；

（2）记△AMF的面积为S₁，△BMF的面积为S₂，当S₁＝4S₂时，求直线l的方程.

Answer

（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）xy+1

【解析】

（1）由题意求出，的坐标，设圆的一般方程，将，，坐标代入圆的方程求出参数，即求出圆的方程；（2）由题意得面积之比为纵坐标的绝对值之比，求出坐标的关系，代入抛物线方程，求出的方程．

（1）由题意得：焦点F（1，0），

当l与x轴垂直时，l的方程：x＝1，代入抛物线得A（1，2），B（1，﹣2），

而M（﹣1，0）设△ABMD的外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

所以：解得：D＝﹣2，E＝0，F＝﹣3，

所以△ABM的外接圆方程：x2+y2﹣2x﹣3＝0；

（2）由题意的直线l的斜率不为零，设直线l的方程：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），

设A在x轴上方，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，

由题意知：y＝﹣4y'，

∴y'，代入直线得x'1，B在抛物线上，

所以：（）2﹣4（1）＝0，解得m，

所以直线l的方程：xy+1.