Question

在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，腰长为2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，BA.

（1）求证：EF⊥平面BAC；

（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）取中点，连结、，在等腰中，由已知可得，则，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面，则，可得平面，然后证明是平行四边形，得，从而得到平面；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系．求出，，，，的坐标，设，，，求出平面的法向量，由求得，即线段上存在一点，使得平面，再求出平面的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）证明：取中点，连结、，在等腰中，

，，、分别是边、的中点，，

又翻折后，翻折后，且为等腰直角三角形，则，

翻折后，，且，平面，

，平面，则，

又，平面，

又，，且，

是平行四边形，则，

平面；

（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系．则，1，，，0，，，0，，，1，，，设，，，

则，

设平面的法向量为，，，则由，取，则，1，，

要使平面，则须，

，即线段上存在一点，使得平面，

设平面的法向量为，，，则由，取，则，1，，

，

二面角为锐二面角，其余弦值为，

即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），

使得平面，此时二面角的余弦值为．