Question

在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0），B ，M（x，y）是曲线C上的动点，且直线AM与BM的斜率之积等于.

（1）求曲线C方程；

（2）过D（2，0）的直线l（l与x轴不垂直）与曲线C交于E，F两点，点F关于x轴的对称点为F′，直线EF′与x轴交于点P，求△PEF的面积的取值范围.

Answer

（1）（y≠0）；（2）（0，4）

【解析】

（1）利用斜率公式由题意可得：，化简即可得到曲线方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点的坐标，在求出的面积，利用换元法得到，再令利用导数得到，从而得出的面积的取值范围．

（1）由题意可得：，

化简得：，

故曲线C方程为：（y≠0）；

（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），由题意可知直线l的斜率存在且不为零，

设直线l的方程为x＝my+2（m≠0），代入化简并整理得：（m2+4）y2+4my﹣8＝0，

∴y1+y2，y1y2，

由题意可知，F'（x2，﹣y2）且x1≠x2，∴直线EF'的方程为y﹣y1（x﹣x1），

令y＝0得，x＝x12＝6，

∴点P（0，6），

∴S△PEF2，

令t，则t＞2，S△PEF，

∵f（t）＝t在（2，+∞）上单调递增，∴f（t）＞3，

∴0＜S△PEF＜4，

∴△PEF的面积的取值范围为（0，4）.