Question

设数列的前n项和为,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”;

(1)若数列的前n项和(),判断数列是否是“H数列”?若是,给出证明;若不是,说明理由;

(2)设数列是常数列,证明:为“H数列”的充要条件是;

(3)设是等差数列,其首项,公差,若是“H数列”,求d的值;

Answer

(1)是,见解析;(2)见解析;(3)

【解析】

（1）求出数列的通项公式，确定是数列中的项即可；

（2）利用是数列中的项可求，注意要证明必要性和充分性．

（3）利用，求出，由是正整数分析的可能情形．

（1），则，时，，所以，

显然对任意的是数列中的第项，所以数列是“H数列”；

（2）数列是常数列,即，而，数列是“H数列”，则对一切正整数成立，所以；

反之，若，则是数列中的项，即数列是“H数列”．

综上，为“H数列”的充要条件是;

（3）是等差数列,其首项,公差，，，

若是“H数列”，则存在正整数，使得，

，是正整数，所以是整数，

因为，所以是所有正整数的公约数，又，所以．