Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，O，E分别为AD，PB的中点，平面平面ABCD，，.

（1）求证：平面PCD；

（2）求证：平面PCD；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

(1) 取PC的中点G，连接EG，DG.再证明即可.

(2)分别证明与即可.

(3)以O为原点,建立空间直角坐标系,利用二面角的向量方法求解即可.

（1）证明：取PC的中点G，连接EG，DG.

∵E，G分别为PB，PC的中点，

∴，

∵四边形ABCD为矩形，且O为AD的中点，

∴，

∴，

∴四边形ODGE为平行四边形，

∴.

又因为平面PCD，平面PCD，

∴平面PCD，.

（2）∵底面ABCD为矩形，

∴，又平面平面ABCD，

∴平面PAD，∴，

∵，，

∴，

∴，又

∴平面PCD.

（3）【解析】
取BC的中点F，连接OF，OP，则，，.

以O为原点，OA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

平面PAD的一个法向量，，，

设平面PBD的法向量，

则，所以，可取，

所以，

结合图形可知二面角的余弦值为.