Question

已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.

(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，向量f(a)及f(b)的坐标.

(3)求使f(c)=(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标.

Answer

（1）见解析（2）f(a)= (1，1)，f(b)= (0，-1).（3）c=(2p-q，p).

【解析】

试题（1）利用新定义的向量之间的关系，结合向量的坐标表示的运算法则进行转化求解是解决本题的关键．设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明二者的相等；

（2）根据两个向量之间的关系依据题目所给的映射关系写出所求的向量坐标；

（3）利用方程思想设出所求向量的坐标，通过建立未知数的方程达到求向量坐标的目的．

试题解析:

(1)设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，

则ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)，

所以f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，又mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，

所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

(2)f(a)=(1，2×1-1)=(1，1)，

f(b)=(0，2×0-1)=(0，-1).

(3)设c=(x，y)，则f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，所以y=p，2y-x=q，解得x=2p-q，所以c=(2p-q，p).