Question

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B是菱形，侧面AA₁C₁C是矩形，平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B，∠BAA₁，AA₁=2AC=2，O为AA₁的中点.

（1）求证:OC⊥BC₁；

（2）求点C₁到平面ABC的距离.

Answer

(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）连接，AA1=2AC=2，O为AA1的中点，可得 ，可证 ，侧面AA1B1B是菱形，，有，结合平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，可证

平面AA1C1C，可得，进而有平面，即可证明结论；

（2），可证平面，点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等，由（1）平面AA1C1C，求出的面积，用等体积法

，即可求解.

(1)证明：连接，AA1=2AC=2，O为AA1的中点，

，，

因为侧面AA1B1B是菱形，，

所以为等边三角形，O为AA1的中点，

所以，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，

平面AA1C1C平面AA1B1B平面AA1B1B，

所以平面AA1C1C，同理可证平面AA1B1B，

平面AA1C1C，所以，

平面，所以平面，

因为平面，所以；

（2）因为侧面AA1C1C是矩形，所以，

平面，平面，

所以平面，

点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等，

设C1到平面ABC的距离为，

由（1）得平面AA1C1C，平面AA1B1B，

所以，

，

，

所以点C1到平面ABC的距离为.