Question

两圆(圆心,半径),与(圆心,半径)不是同心圆,方程相减(消去二次项)得到的直线叫做圆 与圆的根轴;

(1)求证:当与相交于A,B两点时,所在直线为根轴;

(2)对根轴上任意点P,求证:;

(3)设根轴与交于点H,,求证:H分的比;

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【解析】

（1）当与相交于两点时，两圆的方程作差可得公共弦所在的直线方程，即可证明结论；
（2）先确定根轴上的点的轨迹，再根据点位置分类讨论，即可证明结论；
（3）设到根轴的距离为，到根轴的距离为，则，即可证明结论.

证明：（1）当与相交于两点时，两圆的方程作差可得，
∴公共弦所在的直线方程为：，

即当与相交于两点时，所在的直线为根轴；
（2）由（1）得，当两圆相交时，根轴为两圆的公共弦所在的直线；

当两圆相切时，

相当于把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的公共弦所在直线也就与两圆只有一个公共点，该直线成为两外切圆的过同一切点的公切线，即根轴为与两圆有相同切点的公切线；

当两圆相离或内含时，

直线方程可以变形为：，即根轴上的点到两圆的切线长相等．

当点是两圆交点时，此时两圆相交或相切，有

当点是两圆内部时，此时两圆相交，如图：

，

，

；

当点是两圆外部时，此时两圆相交，相切，相离，内含均可能，如图：

根据勾股定理可得：，

因为根轴上的点到两圆的切线长相等，所以，
，

综上所述：；
（3）设到根轴的距离为，到根轴的距离为，

则，
.
分的比.