Question

如图,圆与长轴是短轴两倍的椭圆:相切于点

(1)求椭圆与圆的方程;

(2)过点引两条互相垂直的两直线与两曲线分别交于点与点(均不重合).若为椭圆上任一点,记点到两直线的距离分别为,求的最大值,并求出此时的坐标.

Answer

（1）椭圆方程为，圆的方程为；（2）的最大值为，此时.

【解析】

（1）根据点坐标求得，结合长轴是短轴两倍求得，由此求得椭圆方程以及圆的方程.

（2）设出点坐标，结合以及矩形的几何性质求得的表达式，并由此求得的最大值，以及此时的坐标.

（1）由于，所以，由于椭圆长轴是短轴两倍，所以，圆的半径为，所以椭圆方程为，圆的方程为.

（2）设，则，①，由于，设如下图所示，所以四边形是矩形，所以，将①代入上式并化简得，，因为，所以当时，取得最大值为，，所以，即.