Question

对于函数,称满足的为的“不动点”,称满足的为的“稳定点”

(1)求函数的“不动点”;

(2)求函数的“稳定点”;

(3)已知函数有无数个“稳定点”,若,求y的取值范围(用a表示).

Answer

(1),;(2);(3)

【解析】

（1）令，即，可得函数的“不动点”；

（2）令，即，可得函数的“稳定点”；

（3）若函数，，有无数个“稳定点”，即有无数个解，即有无数个解，故，即，分析函数的单调性，进而可得的取值范围．

【解析】
（1）令，即

解得：，或，

即函数的“不动点”为0和1；

（2）令，

即易得：

当时，恒成立，

当时，恒不成立，

故上的每一个数均为函数的“稳定点”；

（3）若函数，，有无数个“稳定点”，

即有无数个解，

即有无数个解，

故，即，

则，

当且，即且时，为减函数，

故当时，函数取最大值，

故当时，函数取最小值，

故