Question

已知平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，

(1)若|a-b|=2，试求a与b的夹角的余弦值.

(2)若对一切实数x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，求a与b的夹角.

Answer

（1）； （2）.

【解析】

（1）根据平面向量数量积的定义与夹角公式，即可求出a与b的夹角的余弦值.（2）设a与b的夹角为θ，利用模长公式得出关于x的不等式(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0，讨论x=1、x＞1和x＜1时，求出cosθ的值，从而求出θ的值.

(1)因为|a|=，|b|=1，|a-b|=2.

所以|a-b|2=4，即a2-2a·b+b2=4，2-2a·b+1=4，所以a·b=-.

设a与b的夹角为θ，

则cosθ===-.

(2)令a与b的夹角为θ.

由|a+xb|≥|a+b|，得(a+xb)2≥(a+b)2，

化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0，

因为|a|=，|b|=1，

所以(x2-1)+(2x-2)cosθ≥0，

当x=1时，式子显然成立;

当x>1时，cosθ≥-=-，

由于-<-，故cosθ≥-;

当x<1时，cosθ≤-=-，

由于->-，故cosθ≤-，

所以cosθ=-，解得θ=.