Question

已知数列和满足：，，且对一切，均有．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设，记数列的前项和为，求正整数，使得对任意，均有．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）在等式两边同时除以，可得出，利用等差数列的定义可证明出数列为等差数列，求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式；

（2）先求出的值，由时，由，可得出，两式相除可得出的表达式，再对是否满足在的表达式，即可得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求出；

（3）令，利用数列的单调性求出满足的最大整数的值为，即可得出结论.

（1）由，，

两边除以，得，即，所以，数列为等差数列．

，所以，；

（2）当时，.

对任意的，，则；

当时，由可得，

两式相除得，

满足，所以，对任意的，，，

即数列是公比为的等比数列，且首项为，因此，；

（3），令，即，即，

构造数列，则，

当时，则有，即；

当时，；

当时，，即，可得.

所以，数列最大项的值为，又，，

当时，.

所以，当时，，此时；当时，，此时.

综上所述，数列中，最大，因此，.