Question

已知常数，数列的前项和为，，；

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围；

（3）若，，对于任意给定的正整数，是否存在正整数、，使得？若存在，求出、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；

Answer

(1) (2) (3) ， (或， ；…)

【解析】

试题(1)将条件中分式变成整式得，把换成得，两式相减化简可得，化简得，根据等差数列定义可知数列为等差数列，由等差数列通项公式写出公式即可。（2）由（1）可得，因为数列是单调递增数列，所以，，化简得，因为的正负与是奇数、偶数有关，故分两种情况讨论。当是奇数时，可变为恒成立，构造函数求不等式右边的最大值，令，用函数单调性定义可证明单调性为减函数，所以；当是偶数时，可变为恒成立，构造函数求不等式右边的最小值，令，利用函数单调性定义证明函数为增函数，所以 。可得所求范围。（3）由（1）及可求出，所以 。假设对任意，总存在正整数，使，可得关于的关系式 整理可得，给出的值，可求出的值。

试题解析：【解析】
(1)

∴是以为首项，为公差的等差数列，∴

(2),即

若为奇数，则恒成立，

考察，

即，∴；

若为偶数，则恒成立，

考察，

即，∴；综上所述，；

(3)由(1).假设对任意，总存在正整数，使，

则

令，则(或，则；…)

∴(或；…)