Question

已知椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（，+）

【解析】

（1）设为短轴的两个三等分点，为正三角形，

所以，，解得．，

所以椭圆方程为．

（2）设

（ⅰ）当直线与轴重合时，

．

（ⅱ）当直线不与轴重合时，设直线的方程为：

整理得

因恒有，所以恒为钝角，

即恒成立．

又，所以对恒成立，

即对恒成立，

当时，最小值为0，所以，，

因为，即，解得或（舍去），

即，

综合（i）（ii），的取值范围为．