Question

如图，等腰梯形中，，，E为CD中点，将沿AE折到的位置．

（1）证明：；

（2）当折叠过程中所得四棱锥体积取最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）在平面图中，连BE，DB，设DB交AE于F，要证，转证平面，即证；

（2）要使四棱锥体积最大，则需要平面垂直于底面，以为原点建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值．

【解析】
（1）在平面图中，连BE，DB，设DB交AE于F，

因为是等腰梯形，，，E为CD中点

即，且

故四边形为平行四边形

又

所以平行四边形为棱形，

同理可证也为棱形

所以．

于是得出在立体图形中，

，平面

所以平面，

平面，

故

（2）要使四棱锥体积最大，则需要平面垂直于底面，

此时平面，

以为原点，为轴建立空间直角坐标系，

则

则

设平面的法向量为

由，得

令，得

直线与平面所成角的正弦值为.