Question

（理）已知分别是椭圆（其中）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把，代入椭圆方程，结合隐含条件求得，的答案；

（2）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到，的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段的长度．

（1）抛物线的焦点为，

椭圆的左焦点为，，．

又，得，解得舍去）．

故椭圆的方程为．

（2）直线的方程为．

联立方程组，

消去并整理得．

设，，，．

故，．

则．