Question

已知函数（为常数）.

（1）当时，判断在的单调性，并说明理由；

（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数.

Answer

（1）在的单调递增，证明见详解；（2）；

（3）当或，即或，函数有个零点；

当或或时，函数有个零点；

当或时，有个零点；

【解析】

（1）先判断其单调性，然后利用定义证明；

（2）先建立不等式，然后分离参数，利用最值思想求解；

（3）令，可得，即，借助的图像以及直线图像，数形结合进行讨论判断即可.

（1）当时，且，是单调递增的，

证明：任取，

则 ，

，，，即，

所以在的单调递增.

（2）由，可得，变形为，

即，

设，令，，

则，易求得，

，解得

（3）令，则，

可得，

令 ，

作出的图像以及直线图像，

由图像可知，

当或，即或，函数有个零点；

当或或时，函数有个零点；

当或时，有个零点；