Question

如图，已知椭圆经过点，且离心率，圆以椭圆的短轴为直径.过点P作互相垂直的直线，，且直线交椭圆C于另一点D，直线交圆于A，B两点.

（1）求椭圆和圆的标准方程；

（2）求面积的最大值.

Answer

（1）， ；（2）.

【解析】

（1）根据题意求出的值，即可确定椭圆以及圆的方程；

（2）由直线与圆相交的弦长公式求出线段的长，利用弦长公式得出的长，由三角形面积公式得出的面积，利用换元法以及二次函数的性质得出面积的最大值.

（1）由题意得：

椭圆的方程为：，圆的方程为：；

（2）设，，

由题意直线的斜率存在且不为

设的方程为：，的方程：

圆心到直线的距离为

，

联立方程：，

所以，

设，

当且仅当，即，时取等号.