Question

如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值，若不具有“性质”，请说明理由；

（2）已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；

（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”且当时，，若函数图象与直线的公共点有个，求的取值范围.

Answer

（1），理由见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由恒成立，得出的值；

（2）根据性质可知函数为偶函数，求出函数在上的解析式，根据二次函数的性质得出最大值；

（3）根据对称轴和周期作出函数的图象，根据交点个数列出不等式组得出的范围．

（1）假设函数具有“性质”，

则恒成立，即恒成立，

化简得：恒成立，，解得.

因此，函数具有“性质”，且；

（2）函数具有“性质”，，所以，函数为偶函数.

当时，则，.

当时，；

当时，.

综上所述，；

（3））函数既具有“性质”，又具有“性质”，

，所以，函数的图象关于直线对称，

且函数的一个周期为，

作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数的最小正周期为．

当时，函数与直线有无数多个交点，不符合题意；

当时，若函数图象与直线的公共点有个，

所以，解得；

当时，同理可得.

因此，实数的取值范围是.