Question

对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；

（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.

Answer

（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；

（2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；

（3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为.

（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.

点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；

（2）点是点的“上位点”，，.

，

点是点的“下位点”，

，

点是点的“上位点”；

（3）若正整数满足条件：在时恒成立.

由（2）中的结论可知，，时满足条件.

若，由于，

则不成立.

因此，的最小值为.