Question

如图，斜三棱柱中，平面平面，为棱的中点，与点．若，60°．

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）证明：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）要证明线面平行，可以先证明面面平行，再说明线面平行，取的中点，连结，，证明平面平面；

（Ⅱ）由面面垂直的性质定理证明平面，再由条件证明，由面面垂直的判断定理证明；

（Ⅲ）作，垂足，连结，由（Ⅱ）可知平面，即为直线与平面所成角.

（Ⅰ）取的中点，连结，．

∵，分别为，的中点，

∴，．

∵平面，平面，

∴ 平面，平面，

∴平面平面，

∴直线平面．

（Ⅱ）∵，60°，∴，

∵平面平面，∴平面，

∴．

∵，60°，

∴30°，60°，

∴90°，即．

∴平面，

∴平面平面．

（Ⅲ）作，垂足，连结．

由（Ⅱ）知平面，∴为在平面上的射影，

∴即为直线与平面所成角．

∵，，

∴，又为的中点，

∴，，∴，从而，

∴，

即直线与平面所成角的正弦值为．