Question

如图，在正方形ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是棱B₁C₁，BB₁，C₁D₁的中点，是否存在过点E，M且与平面A₁FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

Answer

详见解析.

【解析】

试题分析: 由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝.于是平面EMN满足要求．

试题解析:

如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．

证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.

∵C1N＝C1C，

∴C1N＝C1H.

又E为B1C1的中点，

∴EN∥B1H.

又CF∥B1H，

∴EN∥CF.

又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，

∴EN∥平面A1FC.

同理MN∥D1H，D1H∥A1F，

∴MN∥A1F.

又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，

∴MN∥平面A1FC.

又EN∩MN＝N，

∴平面EMN∥平面A1FC.